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已知f(x)=x+1x(1)证明函数f(x)的图象关于原点对称;(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)=x+
1
x
(1)证明函数f(x)的图象关于原点对称;
(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
试题解答
见解析
解:(1)由于f(x)=x+
1
x
的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
且满足f(-x)=-x+
1
-x
=-(x+
1
x
)=-f(x),
故函数为奇函数,故此函数的图象关于原点对称.
(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调性递增.
证明:设x
2
>x
1
>1,由于f(x
2
)-f(x
1
)=[x
2
+
1
x
2
]-[x
1
+
1
x
1
]
=(x
2
-x
1
)+
x
1
-x
2
x
1
?x
2
=(x
2
-x
1
)?[1-
1
x
1
?x
2
].
由题设可得(x
2
-x
1
)>0,且1-
1
x
1
?x
2
>0,
∴f(x
2
)-f(x
1
)>0,即f(x
2
)>f(x
1
),故函数f(x)在(1,+∞)上单调性递增.
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