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已知函数f(x)的图象过点(0,1),且与函数g(x)=212x-1-a-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形.(1)求函数f(x)的解析式及定义域;(2)若三个正数m、n、t依次成等比数列,证明f(m)+f(t)≥2f(n).试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)的图象过点(0,1),且与函数g(x)=2
1
2
x-1
-a-1的图象关于直线y=x-1成轴对称图形.
(1)求函数f(x)的解析式及定义域;
(2)若三个正数m、n、t依次成等比数列,证明f(m)+f(t)≥2f(n).
试题解答
见解析
(1)解:在y=f(x)的图象上取点P(x,y),
设P点关于直线y=x-1对称的点为Q(m,n),
则
{
y-n
x-m
=-1
y+n
2
=
x+m
2
-1
?
{
m=y+1
n=x-1.
∵Q在y=g(x)的图象上,
∴x-1=2
y+1
2
-1
-a-1?y=2log
2
(x+a)+1.
∵y=f(x)的图象过点(0,1),
∴1=2log
2
a+1?a=1.
故f(x)=2log
2
(x+1)+1,定义域为(-1,+∞).
(2)证明:∵n
2
=mt?(m+1)(t+1)
=mt+m+t+1
≥
n
2
+2
√
mt
+1
=(n+1)
2
,
∴f(m)+f(t)
=2log
2
(m+1)+1+2log
2
(t+1)+1
=2log
2
(m+1)(t+1)+2
≥2log
2
(n+1)
2
+2
=2[2log
2
(n+1)+1=2f(n).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
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函数零点的判定定理
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