已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=2x4x+1．（Ⅰ）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；（Ⅱ）若a＞13，f（a）+f（1-3a）＞0，求实数a的取值范围；（Ⅲ）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=

2^x

4^x+1

．
（Ⅰ）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（Ⅱ）若a＞

，f（a）+f（1-3a）＞0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）．证：任设0＜x₁＜x₂≤1，则f(x₁)-f(x₂)=

2^x₁

4^x+1

2^x₂

4^x₂+1

(2^x₁+x₂-1)(2^x₂-2^x₁)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

．
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴2^x₁+x₂-1＞0，2^x₂-2^x₁＞0．
∴

(2^x₁+x₂-1)(2^x₂-2^x₁)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1]上是减函数．
（Ⅱ）由f（a）+f（1-3a）＞0得：f（a）＞-f（1-3a）=f（3a-1），
∴

{

-1≤a≤1

-1≤1-3a≤1

a＜3a-1

a＞

，解得

＜a≤

，
∴实数a的取值范围为：

＜a≤

；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）-x，则g（x）为（0，1]上的单调递减函数．
∴g(x)∈[g(1)，g(0))?g(x)∈[-

，

)．
∵g（x）在[-1，1]上为奇函数，∴当x∈[-1，0）时g(x)∈(-

，

]．
又g（0）=0，
∴g(x)∈[-

，

]，即b∈[-

，

]．

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