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  • 已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．（Ⅰ）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明．（Ⅱ）解不等式：f(x+12)＜f(1x-1)（Ⅲ）若f（x）≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有
      f(a)+f(b)
      a+b
      ＞0成立．
      （Ⅰ）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明．
      （Ⅱ）解不等式：f(x+
      1
      2
      )＜f(
      1
      x-1
      )
      （Ⅲ）若f（x）≤m      2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（I）f（x）在[-1，1]上为增函数，证明如下：
      设x      1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，
      在
      f(a)+f(b)
      a+b
      ＞0中令a=x1、b=-x2，可得
      f(x1)+f(-x2)
      x1+(-x2)
      ＞0，
      ∵x      1＜x2，∴x1-x2＜0，
      又∵f（x）是奇函数，得f（-x      2）=-f（x2），
      ∴
      f(x1)-f(-x2)
      x1-x2
      ＞0．
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
      故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分）．
      （II）∵f（x）在[-1，1]上为增函数，
      ∴不等式f(x+
      1
      2
      )＜f(
      1
      x-1
      )，即-1≤x+
      1
      2
      ＜
      1
      x-1
      ≤1
      解之得x∈[-
      3
      2
      ，-1），即为原不等式的解集；
      （III）由（I），得f（x）在[-1，1]上为增函数，且最大值为f（1）=1，
      因此，若f（x）≤m      2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，
      即1≤m      2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，得m2-2am≥0对所有的a∈[-1，1]恒成立
      ∴m      2-2m≥0且m2+2m≥0，解之得m≤-2或m≥2或m=0
      即满足条件的实数m的取值范围为{m|m≤-2或m≥2或m=0}．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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