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已知f(x)=2x+12x+1-a是奇函数.(1)求a的值;(2)判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性;(3)若关于x的方程k?f(x)=2x在(0,1]上有解,求k的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)=
2
x
+1
2
x+1
-a
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)若关于x的方程k?f(x)=2
x
在(0,1]上有解,求k的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)=
2
x
+1
2
x+1
-a
是奇函数,
∴对定义域内的x,都有f(x)=-f(-x),
即f(x)+f(-x)=0,
则
2
x
+1
2
x+1
-a
+
2
-x
+1
2
-x+1
-a
=
(2-a)(2
x+1
+2
2x
+1)
(2
x+1
-a)(2-a?2
x
)
=0,
∴a=2.
(2)f(x)在(0,+∞)上的单调递减.
对任意的0<x
1
<x
2
、
f(x
1
)-f(x
2
)=
2
x
1
+1
2
x
1
+1
-2
-
2
x
2
+1
2
x
2
+1
-2
=
2
x
1
-2
x
2
(2
x
1
+1
-2)(2
x
2
+1
-2)
>0,
故f(x
1
)>f(x
2
),即f(x)在(0,+∞)上的单调递减;
(3)方程k?f(x)=2
x
可化为:2(2
x
)
2
-(k+2)?2
x
-k=0,
令2
x
=t∈(1,2],
于是2t
2
-(k+2)t-k=0,
则k=
2t
2
-2t
t+1
=2(t+1)+
4
t+1
-6,
又2(t+1)+
4
t+1
-6在(1,2]上单调递增,
∴2(t+1)+
4
t+1
-6的值域为(0,
4
3
],
故0<k≤
4
3
.
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必修1
人教A版
单选题
高中
数学
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