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借助计算机(器)作某些分段函数图象时,分段函数的表示有时可以利用函数S(x)={1,x≥00,x<0.例如要表示分段函数g(x)={x,x>20,x=2-x,x<2.可以将g(x)表示为g(x)=xS(x-2)+(-x)S(2-x).设f(x)=(-x2+4x-3)S(x-1)+(x2-1)S(1-x).(Ⅰ)请把函数f(x)写成分段函数的形式;(Ⅱ)设F(x)=f(x-k),且F(x)为奇函数,写出满足条件的k值;(不需证明)(Ⅲ)设h(x)=(x2-x+a-a2)S(x-a)+(x2+x-a-a2)S(a-x),求函数h(x)的最小值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
借助计算机(器)作某些分段函数图象时,分段函数的表示有时可以利用函数S(x)=
{
1,x≥0
0,x<0.
例如要表示分段函数g(x)=
{
x,x>2
0,x=2
-x,x<2.
可以将g(x)表示为g(x)=xS(x-2)+(-x)S(2-x).
设f(x)=(-x
2
+4x-3)S(x-1)+(x
2
-1)S(1-x).
(Ⅰ)请把函数f(x)写成分段函数的形式;
(Ⅱ)设F(x)=f(x-k),且F(x)为奇函数,写出满足条件的k值;(不需证明)
(Ⅲ)设h(x)=(x
2
-x+a-a
2
)S(x-a)+(x
2
+x-a-a
2
)S(a-x),求函数h(x)的最小值.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)分情况讨论:
①当x>1时,S(x-1)=1且S???1-x)=0,得f(x)=(-x
2
+4x-3)×1+(x
2
-1)×0=-x
2
+4x-3;
②当x=1时,S(x-1)=S(1-x)=1,得f(x)=(-x
2
+4x-3)×1+(x
2
-1)×1=4x-4;
③当x<1时,S(x-1)=0且S(1-x)=1,得f(x)=(-x
2
+4x-3)×0+(x
2
-1)×1=x
2
-1
∴f(x)=
{
-x
2
+4x-3,x>1
4x-4 x=1
x
2
-1,x<1
…(2分)
(Ⅱ)若F(x)为奇函数,则F(0)=f(-k)=0,
①当-k>1时,解出k=-1或-3,但k=-3不符合题意;②当-k=1时,解出f(-k)=0,恒成立,得k=-1;
③当-k<1时,解出k=-1或1,但k=1不符合题意
综上所述,得当k=-1时,F(x)为奇函数.…(4分)
(Ⅲ)由已知,得h(x)=
{
x
2
-x+a-a
2
,x≥a
x
2
+x-a-a
2
,x<a .
并且函数s=x
2
-x+a-a
2
与t=x
2
+x-a-a
2
在x=a处的值相同.…(5分)
①当a≥
1
2
时,h(x)在区间(-∞,-
1
2
)上单调递减,在区间(-
1
2
,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递增.
所以,h(x)的最小值为f(-
1
2
)=(-
1
2
)
2
+(-
1
2
)-a-a
2
=-a
2
-a-
1
4
.…(6分)
当-
1
2
<a<
1
2
时,h(x)在区间(-∞,-
1
2
)上单调递减,在区间(-
1
2
,a)上单调递增,在区间(a,
1
2
)上单调递减,在区间(
1
2
,+∞)上单调递增.
所以h(x)最小值为f(-
1
2
)与f(
1
2
)中较小的一个,即-a
2
-a-
1
4
与-a
2
+a-
1
4
中较小的一个.
②当-
1
2
<a<0时,h(x)的最小值为-a
2
+a-
1
4
.…(7分)
③当0≤a<
1
2
时,h(x)的最小值为-a
2
-a-
1
4
.…(8分)
④当a≤-
1
2
时,在区间(-∞,a)上单调递减,在区间(a,
1
2
)上单调递减,在区间(
1
2
,+∞)上单调递增.
所以h(x)的最小值为f(
1
2
)=(
1
2
)
2
-(
1
2
)+a-a
2
=-a
2
+a-
1
4
.…(9分)
综上所述,得:当a≤0时,h(x)的最小值为-a
2
+a-
1
4
,当a>0时,h(x)的最小值为-a
2
-a-
1
4
.…(10分)
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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