设函数f（x）=k×2x-2-x是定义域为R的奇函数．（1）求k的值，并判断f（x）的单调性（不需要用定义证明）；（2）解不等式f[f（x）]＞0；（3）设g（x）=4x+4-x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）=k×2^x-2^-x是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值，并判断f（x）的单调性（不需要用定义证明）；
（2）解不等式f[f（x）]＞0；
（3）设g（x）=4^x+4^-x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数f（x）=k×2^x-2^-x是奇函数，∴f（0）=0，∴k×2⁰-2^-0=0，∴k=1．
∴f(x)=2^x-2^-x，此时f（-x）=-f（x），满足题意
∵y=2^x是增函数，∴y=-2^-x是增函数，∴f（x）=2^x-2^-x是增函数；
（2）∵f[f（x）]＞0，∴f[f（x）]＞f（0）．
∵f（x）=2^x-2^-x是增函数，∴2^x-2^-x＞0，∴2^x＞2^-x，∴x＞0，∴f[f（x）]＞0的解集是（0，+∞）．
（3）令2^x-2^-x=t，∵x≥1，∴t≥

，y=t²-2mt+2=(t-m)²+2-m²(t≥

)，
①当m≥

时，g(x)_min=2-m²，∴2-m²=-2，∴m=2．
②当m＜

时，y在t=

时取最小值，

-3m+2=-2，∴m=

（舍去）．
综上得m=2．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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