已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．试题及答案-单选题-云返教育

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已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=

2^x

2^x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

见解析

解：（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
故f(-x)=

2^-x

2^-x+1

2^x+1

，
又f（x）为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-

2^x+1

，
由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，
所以，f（x）=

{

2^x

2^x+1

，0＜x＜1

0，x=0

1+2^x

，-1＜x＜0

．
（2）解：f（x）在（0，1）上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f(x₂)-f(x₁)=

2^x₂

1+2^x₂

2^x₁

1+2^x₁

2^x₂-2^x₁

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

，
因为y=2^x在x∈R上递增，且0＜x₁＜x₂，
所以2^x₂-2^x₁＞0，
因此f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，1）上单调递增．

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