若函数y=a?2x-1-a2x-1为奇函数．（1）求a的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

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若函数y=

a?2^x-1-a

2^x-1

为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）讨论函数的单调性．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数y=f（x）=

a?2^x-1-a

2^x-1

为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0
∴

a?2^-x-1-a

2^-x-1

a?2^x-1-a

2^x-1

=0
∴2a+

1-2^x

=0
∴a=-

（2）f（x）=-

2^x-1

，∴2^x-1≠0，∴2^x≠1，∴x≠0
∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（3）f（x）=-

2^x-1

在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则2^x₁＜2^x₂，2^x₁-1＞0，2^x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（-

2^x₁-1

）-（-

2^x₂-1

）=

2^x₁-2^x₂

(2^x₁-1)(2^x₂-1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，则-x₁＞-x₂＞0，
因为f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以f（-x₁）＞f（-x₂），
因为f（x）是奇函数，所以f（-x₁）=-f（x₁），f（-x₂）=-f（x₂），
∴-f（x₁）＞-f（x₂），∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数．

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若函数y=a?2x-1-a2x-1为奇函数．（1）求a的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

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