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  • 已知函数f（x）=1ax+1+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数（1）求实数b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f（x）+af(x)的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      1
      ax+1
      +b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数
      （1）求实数b的值；
      （2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
      （3）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f（x）+
      a
      f(x)
      的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵定义域为R，
      ∴f（0）=0，∴b=-
      1
      2
      ；

      （2）是单调递增函数．
      ∵定义域为R，∴任取x      1，x2∈R，x1＜x2，
      f(x      1)-f(x2)=(
      1
      ax1+1
      -
      1
      2
      )-(
      1
      ax2+1
      -
      1
      2
      )=
      ax2-ax1
      (ax1+1)(ax2+1)

      ∵0＜a＜1，∴a      x1＞ax2，ax2-ax1＜0，（ax1+1）（ax2+1）＞0
      ，∴
      ax2-ax1
      (ax1+1)(ax2+1)
      ＜0，f（x1）＜f（x2）
      ∴f（x）=
      1
      ax+1
      -
      1
      2
      ，（0＜a＜1）是单调递增函数

      （3）y=g（t）=t+
      a
      t
      ，t∈(0，
      1
      2
      )
      当
      {
      0＜a＜1
      √a
      ≥
      1
      2
      ?
      1
      4
      ≤a＜1时，y=g（t）在t∈(0，
      1
      2
      )单调递减，
      值域：(2a+
      1
      2
      ，+∞)
      当
      {
      0＜a＜1
      √a
      ＜
      1
      2
      ?0＜a＜
      1
      4
      时，y=g（t）=t+
      a
      t
      ≥2
      √a
      ，
      当且仅当t=
      √a
      ∈(0，
      1
      2
      )时，ymin=2
      √a
      ，
      值域：[2
      √a
      ，+∞)．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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