设函数f（x）=ax2+1bx+c是奇函数（a，b，c都是整数）且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求a，b，c的值；（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；（3）当x＞0时，求函数f（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）=

ax²+1

bx+c

是奇函数（a，b，c都是整数）且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；
（3）当x＞0时，求函数f（x）的最小值．

见解析

解：（1）由f（x）=

ax²+1

bx+c

是奇函数，得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，则

a(-x)²+1

b(-x)+c

ax²+1

bx+c

，
∴-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，
即c=0；（或由定义域关于原点对称得c=0）
又f（1）=2，f（2）＜3，
∴

{

a+1

=2①

4a+1

＜3②

由①得a=2b-1代入②得

2b-3

＜0，
∴0＜b＜

，又a，b，c是整数，得b=a=1．
（2）由（1）知，f（x）=

x²+1

=x+

，当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．下用定义证明之．
设x₁＜x₂≤-1，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

x₁

-（x₂+

x₂

）=x₁-x₂-

x₁-x₂

x₁x₂

=（x₁-x₂）（1-

x₁x₂

），
因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

x₁x₂

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；
同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．
（3）∵f（x）=x+

为奇函数，由（2）可知，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，f（x）在[-1，0）上单调递减，
∴f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴当x＞0时，求函数f（x）的最小值为f（1）=1+1=2．

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