设f（x）=exa+aex是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性；（3）若a＞0，当x∈[-ln2，ln2]，不等式f（x）-m≥0解集为空集，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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设f（x）=

e^x

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若a＞0，当x∈[-ln2，ln2]，不等式f（x）-m≥0解集为空集，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）由f （x）为偶函数知f（-x）=f（x），
即

e^-x

e^x

对一切x恒成立，即

ae ^x

+ae ^x=

e^x

恒成立，…（2分）
由此可得a=

，解之得a=±1…（4分）
（2）若a=-1，则f（x）=-e^x-e^-x，求导数得f'（x）=-e^x+e^-x
在[0，+∞）上f'（x）≤0，在（-∞，0]上f'（x）≥0，
∴a=-1时，函数的增区间为（-∞，0]，函数的减区间为[0，+∞），…（5分）
同理可得a=1时，函数增区间为[0，+∞），函数的减区间为（-∞，0]． …（8分）
（3）若a＞0由（1）知a=1，可得f（x）=e^x+e^-x，
∵f （x）是偶函数及f（x）在[0，+∞）上为增函数，x∈[ln2，ln2]，
∴f（x）∈[f（0），f（ln2）]
∵f（0）=2且f（ln2）=2+

，可得f(x)∈[2，

]…（10分）
∴若不等式f（x）-m≥0解集为空集，即f（x）＜m恒成立，只要m＞

即可，
故实数m的取值范围为（

，+∞）…（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

设f（x）=exa+aex是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性；（3）若a＞0，当x∈[-ln2，ln2]，不等式f（x）-m≥0解集为空集，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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