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已知函数f(x)=a?2x-12x+1是奇函数.(1)求实数a的值;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)若对?x∈[0,1],不等式f(x)≤t-x恒成立,求实数t的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=
a?2
x
-1
2
x
+1
是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若对?x∈[0,1],不等式f(x)≤t-x恒成立,求实数t的取值范围.
试题解答
见解析
(1)解:∵f(x)是奇函数
∴f(0)=0,即
a-1
3
=0
∴a=1----------------------(3分)
经检验:a=1时f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
是奇函数,满足题意.--------(4分)
(2)f(x)是单调增函数
证明:任取x
1
,x
2
∈(-∞,+∞),x
1
<x
2
f(x
1
)-f(x
2
)=
2
x
1
-1
2
x
1
+1
-
2
x
2
-1
2
x
2
+1
=
(2
x
1
-1)(2
x
2
+1)-(2
x
2
-1)(2
x
1
+1)
(2
x
1
+1)(2
x
2
+1)
=
2(2
x
1
-2
x
2
)
(2
x
1
+1)(2
x
2
+1)
----------------------(7分)
∵x
1
,x
2
∈(-∞,+∞),x
1
<x
2
∴
2
x
1
-2
x
2
<0,
则f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数.----------------------(10分)
(3)由题意分离t得:t≥f(x)+x对x∈[0,1]恒成立----------------------(12分)
由(2)知函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数
∴f(x)+x在[0,1]上是单调增函数
∴f(x)+x在[0,1]上的最大值为f(1)+1=
4
3
----------------------(14分)
∴t≥
4
3
,即所求实数a的取值范围为[
4
3
,+∞).----------------------(16分)
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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函数零点的判定定理
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