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已知函数f（x）=a-2ex+1在R上是奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断并证明f（x）在R上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=a-

2

e^x+1

在R上是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在R上的单调性．

试题解答

见解析

（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=a-

2

e^x+1

在R上是奇函数
∴f（0）=0，…（2分）
即a-

2

e⁰+1

=0
∴a=1，此时f（x）=1-

2

e^x+1

…（4分）
经检验，当a=1时，f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
∴a=1…（6分）
（Ⅱ）f（x）在R上是增函数，证明如下
∵f（x）=1-

2

e^x+1

任取x₁，x₂∈R，，且x₁＜x₂…（7分）
则f（x₁）-f（x₂）=

2(e^x₁-e^x₂)

(e^x₁+1)(e^x₂+1)

…（10分）
∵x₁＜x₂
∴e^x₁＜e^x₂，（e^x₁+1）（e^x₂+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．…（13分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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