已知函数y=f（x）=ax2+1bx+c（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（0，1）上为减函数．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数y=f（x）=

ax²+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，1）上为减函数．

见解析

（1）解：因为f（x）是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），???

ax²+1

-bx+c

ax²+1

bx+c

，化简得bx+c=bx-c，解得c=0，
又f（1）=2，所以a+1=2b①，因为f（2）＜3，所以

4a+1

＜3②，
将①代入②并整理得

2b-3

＜0，解得0＜b＜

，
因为b∈z，所以b=1，从而a=1，
所以f（x）=

x²+1

；
（2）证明：由（1）得f（x）=

x²+1

=x+

，
设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

x₁

）-（x₂+

x₂

）=

(x₁-x₂)(x₁x₂-1)

x₁x₂

，
???为0＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，

(x₁-x₂)(x₁x₂-1)

x₁x₂

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上为减函数．

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