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已知奇函数f(x)=a+14x+1．（1）求a的值；（2）讨论f（x）的单调性，并加以证明；（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知奇函数f(x)=a+

1

4^x+1

．
（1）求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并加以证明；
（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数f（x）是奇函数，且函数的定义域为R，
则f（0）=0，
即f（0）=a+

1

2

=0，解得a=-

1

2

．
∴f（x）=

1

4^x+1

-

1

2

．
（2）f（x）=

1

4^x+1

-

1

2

在R上单调递减．
证明如下：任取x₁＜x₂
f(x₁)-f(x₂)=(

1

4^x₁+1

-

1

2

)-(

1

4^x₂+1

-

1

2

)=

1

4^x₁+1

-

1

4^x₂+1

=

4^x₂-4^x₁

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
（3）∵f（2x-1）+f（2-3x）＞0，
∴f（2x-1）＞-f（2-3x），
又∵y=f（x）是奇函数，
∴f（2x-1）＞f（3x-2），
∴2x-1＜3x-2，
∴x＞1，
∴不等式的解集为（1，+∞）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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