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  • 已知a＞1，f（logax）=aa2-1(x-1x)．（1）求f（x）的解析式；（2）证明f（x）为R上的增函数；（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a＞1，f（logax）=
      a
      a2-1
      (x-
      1
      x
      )．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）证明f（x）为R上的增函数；
      （3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m      2）＜0，求m的集合M．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令t=logax（t∈R），
      则x=a      t，f（t）=
      a
      a2-1
      (at-
      1
      at
      )，
      ∴f（x）=
      a
      a2-1
      (ax-
      1
      ax
      )（x∈R）．
      （2）当a＞1时，指数函数y=a      x是增函数，y=
      1
      ax
      是减函数，y=-
      1
      ax
      是增函数．
      ∴y=      ax-
      1
      ax
      为增函数，
      又∵
      a
      a2-1
      ＞0，
      ∴f（x）=
      a
      a2-1
      (ax-
      1
      ax
      )是R上的增函数．
      当0＜a＜1时，指数函数y=a      x是减函数，y=
      1
      ax
      是增函数，y=-
      1
      ax
      是减函数．
      ∴y=      ax-
      1
      ax
      为减函数．
      又∵
      a
      a2-1
      ＜0，
      ∴f（x）=
      a
      a2-1
      (ax-
      1
      ax
      )是R上的增函数．
      综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x）为R上的增函数．
      （3）∵f（-x）=
      a
      a2-1
      (a-x-
      1
      a-x
      )=-
      a
      a2-1
      (ax-
      1
      ax
      )=-f（x），且x∈R，
      ∴f（x）为奇函数．
      ∵f（1-m）+f（1-）＜0，
      ∴f（1-m）＜-f（1-m      2），
      ∴f（1-m）＜f（m      2-1），
      由（2）可知y=f（x）为R上的增函数，
      ∴-1＜1-m＜m      2-1＜1，
      解之得：1＜m＜
      √2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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