已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性（不证明）；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f（x）=

b-2^x

2^x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性（不证明）；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

试题解答

见解析

解（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，b=1，
又f（-1）=-f（1），得a=1，经检验a=1，b=1符合题意．
（2???由（1）知f（x）=

1-2^x

2^x+1

=-1+

2^x+1

，
∵y=2^x递增，
∴y=

2^x+1

递减，
∴f（x）在R上是单调递减函数．
（3）∵t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
又f（x）为奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
∵f（x）为减函数，
∴t²-2t＞k-2t²，
即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3(t-

)²-

≥-

，
∴k＜-

．

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已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性（不证明）；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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