已知函数的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数

的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

试题解答

见解析

（1）由

得

，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数；
（2）设x₁＜x₂，则

，
①如果x₁，x₂∈（-1，0），那么x₁+x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）；
②若x₁，x₂∈（0，1），则x₁+x₂＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减；
（3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故