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  • 如图所示，在四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，BC=2，PB=PC，P-BC-A是60°的二面角．（1）求证：PC⊥AB；（2）求四面体P-ABC的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图所示，在四面体P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，BC=2，PB=PC，P-BC-A是60°的二面角．
      （1）求证：PC⊥AB；
      （2）求四面体P-ABC的体积．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：作PO⊥面ABC于O，连接AO、BO．
      因为PA⊥BC，
      所以AO⊥BC，PB⊥AC，BO⊥AC，
      故O是△ABC的垂心．
      连接CO，有CO⊥AB，
      ∵
      {
      AB⊥PO
      AB⊥CO
      ，
      ∴AB⊥面POC，
      ∵PC?面POC，
      所以PC⊥AB． （5分）
      （2）解：延长AO交BC于D，
      得AD⊥BC，
      故PD⊥BC，
      所以∠PDO是面PBC与面ABC所成角的平面角． （7分）
      因为PB=PC，
      所以D是BC的中点，
      ∵BC=2，
      ∴CD=1．
      故AB=AC．
      在Rt△PDO中，PO=ODtan60°=
      √3
      OD． （9分）
      在Rt△ADC与Rt△CDO中，
      因为∠DAC=∠DCO，
      所以△ADC∽△CDO，
      故有
      AD
      CD
      =
      CD
      OD
      ，
      即AD?OD=CD      2=(
      BC
      2
      )2=
      1
      4
      ?22═1 （11分）
      ∴P-ABC的体积：
      V=
      1
      3
      ?PO?S△ABC
      =
      1
      3
      （
      √3
      OD）?
      1
      2
      ?BC?AD
      =
      1
      3
      ?
      1
      2
      ?2?（
      √3
      OD）?AD
      =
      √3
      3
      OD?AD
      =
      √3
      3
      ． （13分）
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