• 已知函数f(x)=x2-cosx,对于[-,]上的任意x1,x2,有如下条件:①x1>x2;②x12>x22;③|x1|>x2.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是 .试题及答案-填空题-云返教育

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      已知函数f(x)=x2-cosx,对于[-]上的任意x1,x2,有如下条件:
      ①x
      1>x2;②x12>x22;③|x1|>x2
      其中能使f(x
      1)>f(x2)恒成立的条件序号是         

      试题解答



      先研究函数的性质,观察知函数是个偶函数,由于f′(x)=2x+sinx,在[0,]上f′(x)>0,可推断出函数在y轴两边是左减右增,此类函数的特点是自变量离原点的位置越近,则函数值越小,欲使f(x1)>f(x2)恒成立,只需x1,到原点的距离比x2,到原???的距离大即可,由此可得出|x1|>|x2|,在所给三个条件中找符合条件的即可.

      函数f(x)为偶函数,f′(x)=2x+sinx,
      当0<x≤
      时,0<sinx≤1,0<2x≤π,
      ∴f′(x)>0,函数f(x)在[0,
      ]上为单调增函数,
      由偶函数性质知函数在[-
      ,0]上为减函数.
      当x
      12>x22时,得|x1|>|x2|≥0,
      ∴f(|x
      1|)>f(|x2|),由函数f(x)在上[-]为偶函数得f(x1)>f(x2),故②成立.
      >-,而f()=f(),
      ∴①不成立,同理可知③不成立.故答案是②.
      故应填②
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