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  • 已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=π4，若不等式asin2x+cosx-t≥0对x∈[-π3，π2]恒成立，则t的取值范围是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=
      π
      4
      ，若不等式asin2x+cosx-t≥0对x∈[-
      π
      3
      ，
      π
      2
      ]恒成立，则t的取值范围是（　　）

      试题解答

      A
      解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=
      π
      4
      ，
      ∴f（0）=f（
      π
      2
      ），代值可得a=1，
      ∵不等式asin      2x+cosx-t≥0对x∈[-
      π
      3
      ，
      π
      2
      ]恒成立，
      ∴不等式sin      2x+cosx-t≥0对x∈[-
      π
      3
      ，
      π
      2
      ]恒成立，
      ∴不等式t≤sin      2x+cosx对x∈[-
      π
      3
      ，
      π
      2
      ]恒成立，
      只需t≤sin      2x+cosx在x∈[-
      π
      3
      ，
      π
      2
      ]的最小值即???，
      变形可得y=sin      2x+cosx=-cos2x+cosx+1=-（cosx-
      1
      2
      ）2+
      5
      4
      ，
      ∵x∈[-
      π
      3
      ，
      π
      2
      ]，∴cosx∈[0，1]，
      由二次函数可知当cosx=0或1时，y取最小值1，
      ∴t的取值范围为（-∞，1]，
      故选：A．
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