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  • 如图，在平面直角坐标系xoy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．（1）若点B的横坐标为-45，求tanα的值；（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；（3）若α∈[0，2π3]，请写出弓形AB的面积S与α的函???关系式，并指出函数的值域．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在平面直角坐标系xoy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
      （1）若点B的横坐标为-
      4
      5
      ，求tanα的值；
      （2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
      （3）若α∈[0，
      2π
      3
      ]，请写出弓形AB的面积S与α的函???关系式，并指出函数的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得B（-
      4
      5
      ，
      3
      5
      ），根据三角函数的定义得：tanα=
      y
      x
      =-
      3
      4
      ；
      （2）若△AOB为等边三角形，则B（
      1
      2
      ，
      √3
      2
      ）或（
      1
      2
      ，-
      √3
      2
      ）
      可得tan∠AOB=
      y
      x
      =
      √3
      或-
      √3
      ，故∠AOB=
      π
      3
      ，或-
      π
      3
      ；
      故与角α终边相同的角β的集合为：{β|β=
      π
      3
      +2kπ，k∈Z}∪{β|β=-
      π
      3
      +2kπ，k∈Z}；
      （3）若α∈[0，
      2π
      3
      ]，则S扇形=
      1
      2
      αr2=
      1
      2
      α，而S△AOB=
      1
      2
      ×1×1×sinα=
      1
      2
      sinα，
      故弓形的面积S=S      扇形-S△AOB=
      1
      2
      α-
      1
      2
      sinα，α∈[0，
      2π
      3
      ]，
      求导数可得S′=
      1
      2
      -
      1
      2
      cosα=
      1
      2
      （1-cosα）＞0，故S在区间[0，
      2π
      3
      ]上单调递增，
      S（0）=0，S（
      2π
      3
      ）=
      π
      3
      -
      √3
      4
      ，
      故函数的值域为：[0，
      π
      3
      -
      √3
      4
      ]
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