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  • 已知向量a=(1-2cos2ωx2， 1)，b=（-1，cos（ωx+π3）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=a?b的相邻两个零点，AB=π．（1）求ω的值；（2）若f(x)=√33，x∈(0，π2)，求sinx的值；（3）求g(x)=f(2x)-√3x在区间[0， 3π2]上的单调递减区间．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知向量
      a
      =(1-2cos2
      ωx
      2
      ， 1)，
      b
      =（-1，cos（ωx+
      π
      3
      ）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
      a
      ?
      b
      的相邻两个零点，AB=π．
      （1）求ω的值；
      （2）若f(x)=
      √3
      3
      ，x∈(0，
      π
      2
      )，求sinx的值；
      （3）求g(x)=f(2x)-
      √3
      x在区间[0，
      3π
      2
      ]上的单调递减区间．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵
      a
      =(1-2cos2
      ωx
      2
      ， 1)，
      b
      =（-1，cos（ωx+
      π
      3
      ）），
      ∴f(x)=
      a
      ?
      b
      =2cos2
      ωx
      2
      -1+cos(ωx+
      π
      3
      )=cosωx+
      1
      2
      cosωx-
      √3
      2
      sinωx
      =
      3
      2
      cosωx-
      √3
      2
      sinωx=
      √3
      sin(ωx+
      2π
      3
      )，
      ∵点A、B为函数f(x)=
      a
      ?
      b
      的相邻两个零点，AB=π．
      ∴可得函数的周期T=2π=
      2π
      ω
      ，解之得ω=1；
      （2）由（1）得f(x)=
      √3
      3
      ，即
      √3
      sin(x+
      2π
      3
      )=
      √3
      3
      ，得sin(x+
      2π
      3
      )=
      1
      3
      ．
      ∵x∈(0，
      π
      2
      )，得x+
      2π
      3
      ∈（
      π
      2
      ，
      7π
      6
      ），∴cos(x+
      2π
      3
      )=-
      2
      √2
      3
      （正值舍去）．
      ∴sinx=sin(x+
      2π
      3
      -
      2π
      3
      )=sin(x+
      2π
      3
      )cos
      2π
      3
      -cos(x+
      2π
      3
      )sin
      2π
      3

      =
      1
      3
      ×(-
      1
      2
      )-(-
      2
      √2
      3
      )×
      √3
      2
      =
      2
      √6
      -1
      6
      ；
      （3）∵g(x)=
      √3
      sin(2x+
      2π
      3
      )-
      √3
      x，
      ∴求导数得：g′(x)=2
      √3
      cos(2x+
      2π
      3
      )-
      √3
      ，
      令g′（x）≤0即2
      √3
      cos(2x+
      2π
      3
      )-
      √3
      ≤0，解得cos(2x+
      2π
      3
      )≤
      1
      2
      ，
      ∵不等式cos(2x+
      2π
      3
      )≤
      1
      2
      的解集满足2kπ+
      π
      3
      ≤2x+
      2π
      3
      ≤2kπ+
      5π
      3
      （k∈Z），
      ∴解之得kπ-
      π
      6
      ≤x≤kπ+
      π
      2
      （k∈Z），
      得g(x)=
      √3
      sin(2x+
      2π
      3
      )-
      √3
      x的递减区间为[kπ-
      π
      6
      ，kπ+
      π
      2
      ]（k∈Z），
      结合x∈[0，
      3π
      2
      ]，取k=0和1并求交集，
      可得g（x）在区间[0，
      3π
      2
      ]上的单调递减区间为[0，
      π
      2
      ]，[
      5π
      6
      ，
      3π
      2
      ]．
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