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  • 已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数（1）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x-sinxcosx的值；（2）求函数F（x）=f（x）f'（x）+f2（x）的最大值和最小正周期．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
      （1）若f（x）=2f′（x），求
      1+sin2x
      cos2x-sinxcosx
      的值；
      （2）求函数F（x）=f（x）f'（x）+f      2（x）的最大值和最小正周期．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=sinx+cosx=f′（x），
      ∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
      ∴cosx=3sinx，
      ∴tanx=
      1
      3
      ，
      ∴
      1+sin2x
      cos2x-sinxcosx
      =
      2sin2x+cos2x
      cos2x-sinxcosx
      =
      2tan2x+1
      1-tanx
      =
      11
      9
      2
      3
      =
      11
      6
      ．
      （2）∵f′（x）=cosx-sinx，
      ∴F（x）=f（x）f′（x）+f      2（x）
      =cos      2x-sin2x+1+2sinxcosx
      =1+sin2x+cos2x
      =1+
      √2
      sin（2x+
      π
      4
      ）．
      ∴当2x+
      π
      4
      =2kπ+
      π
      2
      ，即x=kπ+
      π
      8
      （k∈Z）时，F（x）max=1+
      √2
      ，最小正周期T=
      2π
      2
      =π．
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