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  • 已知向量a=(1，cos(ωx-π6))，b=(2，2sin(ωx-π6))，其中ω为常数，且ω＞0．（1）若ω=1，且a∥b，求tanx的值；（2）设函数f(x)=a?b-2，若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在x∈[0，π2]时的值域．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知向量
      a
      =(1，cos(ωx-
      π
      6
      ))，
      b
      =(2，2sin(ωx-
      π
      6
      ))，其中ω为常数，且ω＞0．
      （1）若ω=1，且
      a
      ∥
      b
      ，求tanx的值；
      （2）设函数f(x)=
      a
      ?
      b
      -2，若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在x∈[0，
      π
      2
      ]时的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（1）若ω=1，则
      a
      =(1 ， cos(x-
      π
      6
      ))，
      b
      =(2 ， 2sin(x-
      π
      6
      ))，
      由
      a
      ∥
      b
      的充要条件知，存在非零实数λ，使得
      b
      =λ?
      a
      ，即
      {
      2=λ
      2sin(x-
      π
      6
      )=λ?cos(x-
      π
      6
      )
      ，
      所以，sin(x-
      π
      6
      )=cos(x-
      π
      6
      )，tan(x-
      π
      6
      )=1，
      ∴x-
      π
      6
      =kπ+
      π
      4
      ，k∈Z，x=kπ+
      5π
      12
      ，k∈Z，tanx=tan(kπ+
      5π
      12
      )=tan
      5π
      12
      =tan(
      π
      4
      +
      π
      6
      )=
      1+
      √3
      3
      1-
      √3
      3
      =
      3+
      √3
      3-
      √3
      =2+
      √3
      ．
      （2）f(x)=2+2sin(ωx-
      π
      6
      )cos(ωx-
      π
      6
      )-2=2sin(ωx-
      π
      6
      )cos(ωx-
      π
      6
      )=sin(2ωx-
      π
      3
      )，
      因为f（x）的最小正周期为π，所以
      2π
      2ω
      =π，ω=1，
      所以f(x)=sin(2x-
      π
      3
      )，（10分）
      当x∈[0 ，
      π
      2
      ]时，2x-
      π
      3
      ∈[-
      π
      3
      ，
      2π
      3
      ]，
      所以函数f（x）的值域为[-
      √3
      2
      ， 1]．
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