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  • 在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设AB=a，BC=b，试用a、b表示GK、AH．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设
      AB
      =
      a
      ，
      BC
      =
      b
      ，试用
      a
      、
      b
      表示
      GK
      、
      AH
      ．

      试题解答

      见解析
      解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，
      所以
      GK
      =
      GD
      +
      1
      2
      DF
      =
      GD
      +
      1
      2
      （
      CF
      -
      CD
      ）
      =-
      1
      2
      a
      +
      1
      2
      （-
      1
      2
      b
      +
      a
      ）=-
      1
      4
      a
      -
      1
      4
      b
      ．（5分）
      因为A、H、G三点共线，
      所以存在实数m，使
      AH
      =m
      AG
      =m（
      b
      +
      1
      2
      a
      ）=m
      b
      +
      1
      2
      m
      a
      ；
      又D、H、F三点共线，
      所以存在实数n，使
      DH
      =n
      DF
      =n（
      a
      -
      1
      2
      b
      ）=n
      a
      -
      1
      2
      n
      b
      ．
      因为
      AD
      +
      DH
      =
      AH
      ，所以(1-
      n
      2
      )
      b
      +n
      a
      =m
      b
      +
      m
      2
      a
      （10分）
      因为a、b不共线，
      ∴1-
      n
      2
      =m且n=
      m
      2
      解得m=
      4
      5
      ，
      即
      AH
      =
      4
      5
      （
      b
      +
      1
      2
      a
      ）=
      2
      5
      a
      +
      4
      5
      b
      ．（14分）
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