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  • 已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，BM=λME，DN=μNA，其中λ，μ＞0，MN=tBC(t∈R)，S△ABC=1，则S△GMN的取值范围是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G，
      BM
      =λ
      ME
      ，
      DN
      =μ
      NA
      ，其中λ，μ＞0，
      MN
      =t
      BC
      (t∈R)，S△ABC=1，则S△GMN的取值范围是（　　）

      试题解答

      D
      解：∵D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G
      ∴G为三角形ABC的重心
      过G作GF⊥BC于F，AH⊥BC于H
      则Rt△GDE∽Rt△ADF
      ∴
      GF
      AH
      =
      GD
      AD
      =
      1
      3

      ∴
      S△BDG
      S△ABC
      =
      1
      2
      ×BD×GF
      1
      2
      ×BC×AH
      =
      1
      6

      ∵S      △ABC=1
      ∴      S△BDG=
      1
      6

      ∵
      MN
      =t
      BC
      (t∈R)
      ∴MN∥BD且
      MN
      BD
      = 2t
      ∴
      S△GMN
      S△GBD
      =(2t)2= 4t2
      ∴      s△GMN=
      2
      3
      t2
      ∵
      BM
      =λ
      ME
      ，
      DN
      =μ
      NA
      其中λ，μ＞0
      ∴M不可能与E重合
      ∵
      MN
      =t
      BC
      (t∈R)
      ∴MN∥BD
      ∵
      AE
      AC
      =
      1
      2

      ∴0＜t＜
      1
      2
      ，
      ∴0＜t      2＜
      1
      4

      ∴0＜
      2
      3
      t2＜
      1
      6

      ∴0＜S      △GMN＜
      1
      6

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