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  • 如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使AP=λAE，PD=μCD，AB=a，BC=b．（1）求λ及μ；（2）用a，b表示BP；（3）求△PAC的面积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使
      AP
      =λ
      AE
      ，
      PD
      =μ
      CD
      ，
      AB
      =
      a
      ，
      BC
      =
      b
      ．
      （1）求λ及μ；
      （2）用
      a
      ，
      b
      表示
      BP
      ；
      （3）求△PAC的面积．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由于
      AB
      =
      a
      ，
      BC
      =
      b
      ，则
      AE
      =
      a
      +
      2
      3
      b
      ，
      DC
      =
      1
      3
      a
      +
      b
      ，
      AP
      =λ
      AE
      =λ(
      a
      +
      2
      3
      b
      )，
      DP
      =μ
      DC
      =μ(
      1
      3
      a
      +
      b
      )，
      AP
      =
      AD
      +
      DP
      =
      2
      3
      AB
      +
      DP
      ，
      2
      3
      a
      +μ(
      1
      3
      a
      +
      b
      )=λ(
      a
      +
      2
      3
      b
      )，∴λ=
      2
      3
      +
      1
      3
      μ ①，
      2
      3
      λ=μ ②，
      由①②得λ=
      6
      7
      ，μ=
      4
      7

      （2）
      BP
      =
      BA
      +
      AP
      =-
      a
      +
      6
      7
      ×(
      a
      +
      2
      3
      b
      )=-
      1
      7
      a
      +
      4
      7
      b
      ．
      （3）设△ABC，△PAB，△PBC的高分别为h，h      1，h2，
      h1：h=|
      PD
      |：|
      CD
      |=μ=
      4
      7
      ，S△PAB=
      4
      7
      S△ABC=8，
      h2：h=|
      PE
      |：|
      AE
      |=1-λ=
      1
      7
      ，S△PBC=
      1
      7
      S△ABC=2，S△PAC=4．
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