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  • 设数列{an}的前n项的和Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn=2nSn，n=1，2，3，…，证明：nΣi=1Ti＜32．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设数列{an}的前n项的和Sn=
      4
      3
      an-
      1
      3
      ×2n+1+
      2
      3
      ，n=1，2，3，…
      （Ⅰ）求首项a      1与通项an；
      （Ⅱ）设      Tn=
      2n
      Sn
      ，n=1，2，3，…，证明：nΣi=1Ti＜
      3
      2
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由Sn=
      4
      3
      an-
      1
      3
      ×2n+1+
      2
      3
      ，n=1，2，3，①得a1=S1=
      4
      3
      a1-
      1
      3
      ×4+
      2
      3

      所以a      1=2．
      再由①有S      n-1=
      4
      3
      an-1-
      1
      3
      ×2n+
      2
      3
      ，n=2，3，4，
      将①和②相减得：a      n=Sn-Sn-1=
      4
      3
      （an-an-1）-
      1
      3
      ×（2n+1-2n），n=2，3，
      整理得：a      n+2n=4（an-1+2n-1），n=2，3，
      因而数列{a      n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：an+2n=4×4n-1=4n，n=1，2，3，
      因而a      n=4n-2n，n=1，2，3，
      （Ⅱ）将a      n=4n-2n代入①得Sn=
      4
      3
      ×（4n-2n）-
      1
      3
      ×2n+1+
      2
      3
      =
      1
      3
      ×（2n+1-1）（2n+1-2）
      =
      2
      3
      ×（2n+1-1）（2n-1）
      T      n=
      2n
      Sn
      =
      3
      2
      ×
      2n
      (2n+1-1)(2n-1)
      =
      3
      2
      ×（
      1
      2n-1
      -
      1
      2n+1-1
      ）
      所以，      nΣi=1Ti=
      3
      2
      nΣi=1(
      1
      2i-1
      -
      1
      2i+1-1
      ）=
      3
      2
      ×（
      1
      21-1
      -
      1
      2i+1-1
      ）＜
      3
      2
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      必修5人教B版解答题高中数学

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