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  • 已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=2(an-1)an，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2010的n的最小值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．
      （Ⅰ）证明数列{a      n+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
      （Ⅱ）记      bn=
      2(an-1)
      an
      ，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2010的n的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（I）∵an+1=3an-2an-1（n≥2）
      ∴（a      n+1-an）=2（an-an-1）（n≥2）
      ∵a      1=2，a2=4∴a2-a1=2≠0，∴an+1-an≠0
      故数列{a      n+1-an}是公比为2的等比数列
      ∴a      n+1-an=（a2-a1）2n-1=2n
      ∴a      n=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）++（a2-a1）+a1
      =2n-1+2n-2+2n-3++21+2
      =
      2(1-2n-1)
      1-2
      +2=2n（n≥2）
      又a      1=2满足上式，
      ∴a      n=2n（n∈N*）
      （II）由（I）知      bn=
      2(an-1)
      an
      =2(1-
      1
      an
      )=2(1-
      1
      2n
      )=2-
      1
      2n-1

      ∴      Sn=2n-(1+
      1
      21
      +
      1
      22
      ++
      1
      2n-1
      )
      =2n-
      1-
      1
      2n
      1-
      1
      2

      =2n-2(1-
      1
      2n
      )
      =2n-2+
      1
      2n-1

      由S      n＞2010得：2n-2+
      1
      2n-1
      ＞2010，
      即n+
      1
      2n
      ＞1006，因为n为正整数，所以n的最小值为1006
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