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  • 数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=nan+1-an，设数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，试判断Tn与2的关系，并说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N．
      （Ⅰ）求数列{a      n}的通项公式；
      （Ⅱ）若b      n=
      n
      an+1-an
      ，设数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，试判断Tn与2的关系，并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，
      ∴S      n+1+（n+1）+2=2（Sn+n+2），
      并且S      1+1+2=1+1+2=4，数列{Sn+n+2}组成一个以4为首项，2为公比的等比数列，
      ∴S      n+n+1=4×2n-1=2n+1，
      S      n=2n+1-n-2．
      ∴a      1=S1=22-1-2=1，
      a      n=Sn-Sn-1
      =（2      n+1-n-2）-（2n-n-1）=2n-1，
      当n=1时，2      n-1=1=a1，
      ∴a      n=2n-1．
      （Ⅱ）∵a      n=2n-1，
      ∴      bn =
      n
      an+1-an
      =
      n
      2 n+1-2n
      =
      n
      2n
      ，
      ∴      Tn=1×
      1
      2
      +2×
      1
      2 2
      +…+n×
      1
      2 n
      ，①
      1
      2
      Tn=1×
      1
      2 2
      +2×
      1
      2 3
      +…+n×
      1
      2 n+1
      ，②
      ①-②，得
      1
      2
      Tn=
      1
      2
      +
      1
      2 2
      +
      1
      2 3
      +…+
      1
      2 n
      -n×
      1
      2 n+1

      =
      1
      2
      (1-
      1
      2 n
      )
      1-
      1
      2
      -n×
      1
      2 n+1

      =1-
      1
      2 n
      -
      n
      2 n+1
      ，
      ∴      Tn=2-(2+n)(
      1
      2
      )n
      ∴T      n＜2．
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