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  • 已知{an}是正数组成的数列，其前n项和2Sn=an2+an（n∈N*），数列{bn}满足b1=32，bn+1=bn+3an(n∈N*)．（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（II）若cn=anbn（n∈N*），数列{cn}的前n项和Tn，求limn→∞Tncn．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知{an}是正数组成的数列，其前n项和2Sn=an2+an（n∈N*），数列{bn}满足b1=
      3
      2
      ，bn+1=bn+3an(n∈N*)．
      （I）求数列{a      n}，{bn}的通项公式；
      （II）若c      n=anbn（n∈N*），数列{cn}的前n项和Tn，求limn→∞
      Tn
      cn
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（I）a1 =S1=
      1
      2
      (a12+a1)，∴a1=1，
      n≥2时，a      n=Sn-Sn-1=
      1
      2
      (an2+an)-
      1
      2
      (an-12+an-1)，
      ∴a      n2-an-12-an-an-1=0，
      （a      n+an-1）（an-an-1-1）=0，
      ∴a      n-an-1=1．
      ∴数列{a      n}是首项为1，公差为1的等差数列，
      ∴a      n=n．
      于是b      n+1=bn+3n，∴bn+1-bn=3n，bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
      =
      3
      2
      +3+32+…+3n-1=
      3
      2
      +
      3-3n
      1-3
      =
      3n
      2
      ．
      （II）      cn=
      1
      2
      n?3n，
      ∴      Tn=
      1
      2
      (1×3+2×32+…n×3n)，3Tn=
      1
      2
      (1×32+2×33+…+n×3n+1)，
      ∴2T      n=
      1
      2
      (n?3n+1-3-32-…-3n)=
      1
      2
      (n?3n+1-
      3-3n+1
      1-3
      )=
      (2n-1)?3n=1+3
      4
      ，
      Tn =
      (2n-1)?3n+1+3
      8
      ，
      ∴limn→∞
      Tn
      cn
      =limn→∞
      (2n-1)?3n+1+3
      8
      n?3n
      2

      =limn→∞
      (2n-1)?3n+1+3
      4n?3n

      =limn→∞(
      3
      2
      -
      3
      4n
      +
      3
      4n
      ?
      1
      3n
      )=
      3
      2
      ．
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