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  • 已知f′（x）是函数f（x）=12x2+x2n（n∈N*）的导函数，数列{an}满足a1=1，an+1=f′（an）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（2n-1）（2-an），Sn为数列{bn}前n项和，求Sn．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知f′（x）是函数f（x）=
      1
      2
      x2+
      x
      2n
      （n∈N*）的导函数，数列{an}满足a1=1，an+1=f′（an）．
      （1）求数列{a      n}的通项公式；
      （2）若b      n=（2n-1）（2-an），Sn为数列{bn}前n项和，求Sn．

      试题解答

      见解析
      解 （1）∵函数f（x）=
      1
      2
      x2+
      x
      2n
      ，n∈N*，
      ∴f′（x）=x+
      1
      2n
      ，于是an+1=f′（an）=an+
      1
      2n
      ，从而 an+1-an=
      1
      2n
      ，n∈N*，（3分）
      ∴a      n-a1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）
      =
      1
      2n-1
      +
      1
      2n-2
      +…+
      1
      22
      +
      1
      2
      =1-
      1
      2n-1
      ，即 an=2-
      1
      2n-1
      ，n∈N*． （6分）
      （2）∵b      n=（2n-1）（2-an）=（2n-1）?
      1
      2n-1
      ，
      ∴S      n=1×1+3×
      1
      2
      +5×
      1
      22
      +…+（2n-1）
      1
      2n-1
      ，故
      1
      2
      S n=1×
      1
      2
      +3×
      1
      22
      +5×
      1
      23
      +…+（2n-1）
      1
      2n
      ，
      用错位相减法求得 （1-
      1
      2
      ）Sn=1+2[
      1
      2
      +
      1
      22
      +…+
      1
      2n-1
      ]-（2n-1）
      1
      2n
      =3-
      4
      2n
      -
      2n-1
      2n
      =3-
      2n+3
      2n
      ，…（9分）
      故S      n=6-
      2n+3
      2n-1
      ．（12分）
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