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  • 已知x，y均为正数，θ∈(π4，π2)，且满足sinθx=cosθy，cos2θx2+sin2θy2=103(x2+y2)，则xy的值为 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      已知x，y均为正数，θ∈(
      π
      4
      ，
      π
      2
      )，且满足
      sinθ
      x
      =
      cosθ
      y
      ，
      cos2θ
      x2
      +
      sin2θ
      y2
      =
      10
      3(x2+y2)
      ，则
      x
      y
      的值为          ．

      试题解答

      √3
      解：∵
      cos2θ
      x2
      +
      sin2θ
      y2
      =
      10
      3(x2+y2)
      ，∴(x2+y2)(
      cos2θ
      x2
      +
      sin2θ
      y2
      )=
      10
      3
      ，化为
      y2cos2θ
      x2
      +
      x2sin2θ
      y2
      =
      7
      3
      ，（*）
      ∵
      sinθ
      x
      =
      cosθ
      y
      ，
      ∴
      x
      y
      =
      sinθ
      cosθ
      ，
      y
      x
      =
      cosθ
      sinθ
      ，代入（*）得
      cos4θ
      sin2θ
      +
      sin4θ
      cos2θ
      =
      7
      3
      ，
      化为
      cos6θ+sin6θ
      sin2θcos2θ
      =
      7
      3
      ，
      ∵cos      6θ+sin6θ=（cos2θ+sin2θ）（cos4θ+sin4θ-sin2θcos2θ）=1×[（cos2θ+sin2θ）2-3sin2θcos2θ]=1-3sin2θcos2θ，
      ∴
      1-3sin2θcos2θ
      sin2θcos2θ
      =
      7
      3
      ，
      化为sin      2θcos2θ=
      3
      16
      ，与sin2θ+cos2θ=1联立
      {
      sin2θcos2θ=
      3
      16
      sin2θ+cos2θ=1
      ，解得
      {
      sin2θ=
      1
      4
      cos2θ=
      3
      4
      或
      {
      sin2θ=
      3
      4
      cos2θ=
      1
      4
      ．
      由θ∈(
      π
      4
      ，
      π
      2
      )得0＜cosθ＜
      √2
      2
      ＜sinθ＜1．故取
      {
      sin2θ=
      3
      4
      cos2θ=
      1
      4
      ．解得
      {
      sinθ=
      √3
      2
      cosθ=
      1
      2
      ，∴
      x
      y
      =
      sinθ
      cosθ
      =
      √3
      ．
      故答案为
      √3
      ．
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