定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x2与h（x）=a-2x-1是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．试题及答案-解答题-云返教育

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定义：对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，且当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为G函数．已知函数g（x）=x²与h（x）=a-2^x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象讨论方程g（2^x）+h（-2x+1）=m（m∈R）解的个数情况．

试题解答

见解析

解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x²≥0，满足条件①对于任意x∈[0，1]，函数f（x）≥0恒成立，（1分）
当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²≥x

₁

₂

=g（x₁）+g（x₂），满足条件②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，（3分）
（2）∵h（x）=a?2^x-1是G函数，∴h（x）=a?2^x-1≥0，∴a≥

2^x

恒成立．（4分）
∴a≥1．（5分）
由g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂），得
a?2 ^x₁+x₂-1≥a?2 ^x₁-1+a?2 ^x₂-1，
即a[1-（2 ^x₁-1）（2 ^x₂-1）]≤1，（6分）

因为 x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1
所以 2 ^x₁-1≤1，2 ^x₂-1≤1，x₁与x₂不同时等于1
∴0≤（2 ^x₁-1）（2 ^x₂-1）]＜1，
∴0＜1-（2 ^x₁-1）（2 ^x₂-1）≤1，
∴a≤

1-(2^x₁-1)(2^x₂-1)

（7分）
当x₁=x₂=0时，

1-(2^x₁-1)(2^x₂-1)

的最小值=1，∴a≤1，（8分）
综合上述a的值为1．（8分）
（3）根据（2）知：a=1，方程为4^x+2^-2x+1-1=m，（9分）
令4^x=t 方程为t+

=m+1，如图（10分）
由图形可知：
当m∈{2

√2

-1}∪（2，

]时，有一解；
当m∈（2

√2

-1，2]时，有二不同解；
当m∈（-∞，2

√2

-1）∪（

，+∞）时，方程无解．（2分）

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