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  • 已知函数f（x）=x|x-2m|，常数m∈R．（1）设m=0．求证：函数f（x）递增；（2）设m=-1．求关于x的方程f（f（x））=0的解的个数；（3）设m＞0．若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为m2，求正实数m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|x-2m|，常数m∈R．
      （1）设m=0．求证：函数f（x）递增；
      （2）设m=-1．求关于x的方程f（f（x））=0的解的个数；
      （3）设m＞0．若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为m      2，求正实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意，f（x）=x|x|=
      {
      x2
      -x2
      ，
      任取x      1，x2∈R，且x1＜x2
      当0≤x      1＜x2时，f（x1）-f（x2）=x12-x22＜0；
      当x      1＜x2≤0时，f（x1）-f（x2）=-x12+x22=|x2|2-|x12|＜0
      当x      1＜0???x2时，f（x1）-f（x2）=-x12-x22＜0
      综上所述，f（x）在的上为单调增函数．
      （2）当m=-1时，f（f（x））=f（x）|f（x）-2m|=0，可得f（x）=0或f（x）=2m=-2．
      对于方程f（x）=0，可解得x=0或x=2m=-2
      对于方程f（x）=-2，由x|x+2|=-2知x＜0．
      当x∈[-2，0）时，x|x+2|=x（x+2）=（x+1）      2-1≥-1＞-2，所以此时无解
      当x∈（-∞，-2）时，x|x+2|=-x（x+2）=-2，解得x=-1±
      √3
      ，结合x＞-2的要求，得x=-1-
      √3

      综上所述，m=-1时方程有且仅有3个实数解．
      （3）在区间（0，+∞）上，函数f（x）=x|x-2m|=|x（x-2m）|，
      令g（x）=x（x-2m），它在（0，m）上递减，在上（m，+∞）递增
      而在[0，+∞）上，f（x）=
      {
      g(x) x≥2m
      -g(x) 0≤x＜2m

      根据二次函数g（x）的性质可知，f（x）在（0，m）上递增，在（m，2m）上递减，在（2m，+∞）上递增
      当1∈（0，m]时，即当m≥1时，[f（x）]max=f（1）=2m-1，解得2m-1=m      2，故此时m=1
      当1∈（m，2m]时，即
      1
      2
      ≤m＜1时，此时，[f（x）]max=f（m）=m2，此时的m均满足题意．
      当1∈（2m，+∞）时，即0＜m＜
      1
      2
      时，[f（x）]max为f（1）与f（m）中较大者，
      而故f（m）=m      2，f（1）=1-2m，故[f（x）]max=m2当且仅当m2≥1-2m
      解这个不等式，得m≤-1-
      √2
      或m≥-1+
      √2

      最后将这个范围与0＜m＜
      1
      2
      进行交集运算，得m∈[
      √2
      -1，
      1
      2
      ）
      综上所述，实数m的取值范围是[
      √2
      -1，1]
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