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已知定义域为(O,+∞)的单调函数f(x),若对任意x∈(0,+∞),都有f[f(x)+log12x]=3”,则方程f(x)=2+√x的解的个数是( )试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义域为(O,+∞)的单调函数f(x),若对任意x∈(0,+∞),都有f[f(x)+
log
1
2
x]=3”,则方程f(x)=2+
√
x
的解的个数是( )
试题解答
B
解:∵定义域为(O,+∞)的单调函数f(x),
满足f[f(x)+
log
1
2
x]=3,f(x)=2+
√
x
,
∴必存在唯一的正实数a,
满足f(x)+log
1
2
x=a,f(a)=3,①
∴f(a)+log
1
2
a=a,②
由①②得:3+
log
1
2
a=a,
log
1
2
a=a-3,
a=
(
1
2
)
a-3
,左增,右减,有唯一解a=2,
故f(x)+log
1
2
x=a=2,
f(x)=2-
log
1
2
x,
由2-
log
1
2
x=2+
√
x
,得
log
2
x=
√
x
,
∴x=2
√
x
,
令t=
√
x
>0,则t
2
=2
t
,
此方程只有两个正根t=2,或t=4,
∴x=4,或x=16.
故方程f(x)=2+
√
x
的解的个数是2.
故选B.
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