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  • 已知函数f(x)=ax-32x2的最大值不大于16，又当x∈[14，12]时，f(x)≥18.（1）求a的值；（2）设0＜a1＜12，an+1=f(an)，n∈N+．证明an＜1n+1.试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=ax-
      3
      2
      x2的最大值不大于
      1
      6
      ，又当x∈[
      1
      4
      ，
      1
      2
      ]时，f(x)≥
      1
      8
      .
      （1）求a的值；
      （2）设0＜a      1＜
      1
      2
      ，an+1=f(an)，n∈N+．证明an＜
      1
      n+1
      .

      试题解答

      见解析
      解：（1）由于f(x)=ax-
      3
      2
      x2的最大值不大于
      1
      6
      ，所以f(
      a
      3
      )=
      a2
      6
      ≤
      1
      6
      ，即a2≤1.①
      又x∈[
      1
      4
      ，
      1
      2
      ]时f(x)≥
      1
      8
      ，所以
      {
      f(
      1
      2
      )≥
      1
      8
      f(
      1
      4
      )≥
      1
      8
      即
      {
      a
      2
      -
      3
      8
      ≥
      1
      8
      a
      4
      -
      3
      32
      ≥
      1
      8
      .
      解得a≥1．②
      由①②得a=1．
      （2）由（1）知f（x）=x-
      3
      2
      x2
      ①当n=1时，0＜a      1＜
      1
      2
      ，不等式0＜an＜
      1
      n+1
      成立；
      因f(x)＞0，x∈(0，
      2
      3
      )，所以0＜a2=f(a1)≤
      1
      6
      ＜
      1
      3
      ，故n=2时不等式也成立．
      ②假设n=k（k≥2）时，不等式0＜a      k＜
      1
      k+1
      成立，因为f(x)=x-
      3
      2
      x2的对称轴为x=
      1
      3
      ，
      知f（x）在[0，
      1
      3
      ]为增函数，所以由0＜a1＜
      1
      k+1
      ≤
      1
      3
      得0＜f(ak)＜f(
      1
      k+1
      )
      于是有0＜a      k+1＜
      1
      k+1
      -
      3
      2
      ?
      1
      (k+1)2
      +
      1
      k+2
      -
      1
      k+2
      =
      1
      k+2
      -
      k+4
      2(k+1)2(k+2)
      ＜
      1
      k+2
      ，
      所以当n=k+1时，不等式也成立．
      根据①②可知，对任何n∈N      *，不等式an＜
      1
      n+1
      成立．
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