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  • 对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）．（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+12a2+1对称，求b的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0）．
      （1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
      （2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；
      （3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+
      1
      2a2+1
      对称，求b的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3，
      f（x）=x?x      2-2x-3=0?x=-1，x=3
      ∴函数f（x）的不动点为-1和3；

      （2）即f（x）=ax      2+（b+1）x+b-1=x有两个不等实根，
      转化为ax      2+bx+b-1=0有两个不等实根，须有判别式大于0恒成立
      即b      2-4a（b-1）＞0?△=（-4a）2-4×4a＜0?0＜a＜1，
      ∴a的取值范围为0＜a＜1；

      （3）设A（x      1，x1），B（x2，x2），则x1+x2=-
      b
      a
      ，
      A，B的中点M的坐标为 （
      x1+x2
      2
      ，
      x1 +x2
      2
      ），即M（-
      b
      2a
      ，-
      b
      2a
      ）
      ∵A、B两点关于直线y=kx+
      1
      2a2+1
      对称，
      又因为A，B在直线y=x上，
      ∴k=-1，A，B的中点M在直线y=kx+
      1
      2a2+1
      上．
      ∴-
      b
      2a
      =
      b
      2a
      +
      1
      2a2+1
      ?b=-
      a
      2a2+ 1
      =-
      1
      2a+
      1
      a
      利用基本不等式可得
      当且仅当a=
      √2
      2
      时，b的最小值为-
      1
      2
      √2
      ．
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