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  • 设函数f（x）=ax2+8x+3，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]，时，恒有|f（x）|≤5，（1）求M（a）关于a的表达式； （2）求M（a）的最大值及相应的a的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=ax2+8x+3，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]，时，恒有|f（x）|≤5，
      （1）求M（a）关于a的表达式； （2）求M（a）的最大值及相应的a的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由a＜0，f(x)=a(x+
      4
      a
      )2+3-
      16
      a

      当3-
      16
      a
      ＞5，即-8＜a＜0时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是ax2+8x+3=5的较小的根，即M（a）=
      √2a+16
      -4
      a
      ；
      当3-
      16
      a
      ≤5，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是ax2+8x+3=-5的较大的根，即M（a）=
      -2
      √4-2a
      -4
      a
      ；
      所以M（a）=
      {
      √2a+16
      -4
      a
      (-8＜a＜0)
      -2
      √4-2a
      -4
      a
      (a≤-8)

      （2）当-8＜a＜0时，M（a）=
      √2a+16
      -4
      a
      =
      2
      √2a+16
      +4
      ＜
      1
      2
      ；
      当a≤-8时，M（a）=
      -2
      √4-2a
      -4
      a
      =
      4
      √4-2a
      -2
      ≤
      4
      √20
      -2
      =
      √5
      +1
      2
      ；
      所以M（a）的最大值为M（-8）=
      √5
      +1
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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