设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2010，且对任意的x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3?2x，f（x+6）-f（x）≥63?2x，则f（2010）= ．试题及答案-单选题-云返教育

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设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2010，且对任意的x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3?2^x，f（x+6）-f（x）≥63?2^x，则f（2010）= ．

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2²⁰¹⁰+2009

解：∵f（x+2）-f（x）≤3?2^x∴f（x+4）-f（x+2）≤3?2^x+2=12?2^xf（x+6）-f（x+4）≤3?2^x+4=48?2^x∴以上三式相加：f（x+6）-f（x）≤63?2^x又∵f（x+6）-f（x）≥63?2^x∴f（x+6）-f（x）=63?2^x∴f（6）-f（0）=63?2⁰f（12）-f（6）=63?2⁶f（18）-f（12）=63?2^12
…f（2010）-f（2004）=63?2²⁰⁰⁴∴上式相加得：f（2010）-f（0）=63?2⁰+63?2⁶+63?2¹²+…+63?2²⁰⁰⁴=63?（2⁰+2⁶+2¹²+…+2²⁰⁰⁴）
=63?

1-2²⁰⁰⁴?2⁶

1-2⁶

=2²⁰¹⁰-1
∴f（2010）=f（0）+2²⁰¹⁰-1=2010+2²⁰¹⁰-1=2²⁰¹⁰+2009
故答案为：2²⁰¹⁰+2009

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必修1 人教A版单选题高中数学

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2010，且对任意的x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3?2x，f（x+6）-f（x）≥63?2x，则f（2010）= ．试题及答案-单选题-云返教育

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