已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）2；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，求M的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．
（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）²；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，求M的最小值．

见解析

解：（Ⅰ）易知f'（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥

b²

+1．
于是c≥1，且c≥2

√

b²

×1

=|b|，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即当x≥0时，f（x）≤（x+c）²．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
当c＞|b|时???有M≥

f(c)-f(b)

c²-b²

c²-b²+bc- b²

c²-b²

c+2b

b+c

，
令t=

则-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

t+1

，
而函数g（t）=2-

t+1

（-1＜t＜1）的值域（-∞，

）
因此，当c≥|b|时M的取值集合为[

，+∞）．
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此???f（c）-f（b）=-8或0，c²-b²=0，
从而f(c)-f(b)≤

(c²-b²)恒成立．
综上所述，M的最小值为

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