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  • 已知f(x)=aa2-1(ax-a-x) (a＞0且a≠1)．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，2f（x）-3b≥0恒成立，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=
      a
      a2-1
      (ax-a-x) (a＞0且a≠1)．
      （Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
      （Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
      （Ⅲ）当x∈[-1，1]时，2f（x）-3b≥0恒成立，求b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（ I）函数定义域为R，
      ∵f(x)=
      a
      a2-1
      (ax-a-x) (a＞0且a≠1)．
      ∴f(-x)=
      a
      a2-1
      (a-x-ax)=-f(x)，
      ∴f（x）为奇函数．
      （ II）设x      1，x2∈R且x1＜x2，
      ∴f(x      1)-f(x2)=
      a
      a2-1
      [(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=
      a
      a2-1
      (ax1-ax2+a-x2-a-x1)=
      a
      a2-1
      (ax1-ax2+
      1
      ax2
      -
      1
      ax1
      )
      =
      a
      a2-1
      (ax1-ax2+
      ax1-ax2
      ax1+x2
      )=
      a
      (a+1)(a-1)
      (ax1-ax2)(1+
      1
      ax1+x2
      )，
      当a＞1时，
      a
      (a+1)(a-1)
      ＞0，ax1-ax2＜0，1+
      1
      ax1+x2
      ＞0，
      ∴f（x      1）＜f（x2）
      当0＜a＜1时，
      a
      (a+1)(a-1)
      ＜0，ax1-ax2＞0，1+
      1
      ax1+x2
      ＞0，
      ∴f（x      1）＜f（x2）
      ∴当a＞0，a≠1时，f（x）在定义域内单调递增．
      （ III）由（ II）知，f（x）在R上是增函数，
      ∴在区间[-1，1]是增函数，
      即      fmin(x)=f(-1)=
      a
      a2-1
      (a-1-a)=-1，
      即要使2f（x）-3b≥0恒成立，
      3
      2
      b≤f(x)，
      只需
      3
      2
      b≤-1，b≤-
      2
      3
      ，
      ∴b的取值范围是(-∞，-
      2
      3
      ]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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