试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+ax(a＞0)，当x∈[-3，-1]时，n≤f（x）≤m恒成立．（Ⅰ） 若a=1，求m-n的最小值；（Ⅱ） 求m-n的最小值g（a）；（Ⅲ）当a＞16时，是否存在k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出实数k的范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+
      a
      x
      (a＞0)，当x∈[-3，-1]时，n≤f（x）≤m恒成立．
      （Ⅰ） 若a=1，求m-n的最小值；
      （Ⅱ） 求m-n的最小值g（a）；
      （Ⅲ）当a＞16时，是否存在k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k      2-cos2x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出实数k的范围；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）a=1，f（x）在区间[1，3]上单调递增，即f（x）∈[f（1），f（3）]，
      所以，当x∈[1，3]时，m-n≥f(3)-f(1)=
      4
      3

      因为函数为偶函数，所以当x∈[-3，-1]时，m-n≥f(3)-f(1)=
      4
      3

      （Ⅱ） 当x＞0，f（x）=x+
      a
      x
      (a＞0)在（0，
      √a
      ）上单调递减，[
      √a
      ，+∞)上单调递增
      若a≥9，则
      √a
      ≥3，所以函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，即f（x）∈[f（3），f（1）]，
      所以，当x∈[1，3]时，m-n≥f(1)-f(3)=
      2
      3
      a-2，
      因为函数为偶函数，所以当x∈[-3，-1]时，m-n≥f(1)-f(3)=
      2
      3
      a-2，
      若
      √a
      ≤1，即0＜a≤1，f（x）在区间[1，3]上单调递增，即f（x）∈[f（1），f（3）]，
      所以，当x∈[1，3]时，m-n≥f(3)-f(1)=2-
      2
      3
      a
      因为f（1）=f（a）
      若1＜
      √a
      ＜a≤3，即1＜a≤3，当x∈[1，3]时，f(x)max=f(3)，f(x)min=f(
      √a
      )，
      所以m-n≥3+
      a
      3
      -2
      √a

      若3＜
      √a
      ＜3，即3＜a＜9，当x∈[1，3]时，f(x)max=f(1)，f(x)min=f(
      √a
      )，
      所以m-n≥1+a-2
      √a

      综上所述，因为函数为偶函数，所以当x∈[-3，-1]时，g(a)=
      {
      2-
      2a
      3
      ，0＜a≤1
      3+
      a
      3
      -2
      √a
      ，1＜a＜3
      1+a-2
      √a
      ，3＜a＜9
      2
      3
      a-2，a≥9

      （Ⅲ） 当k∈（1，2]时，0＜k-cosx≤3，0＜k      2-cos2x≤4．
      由（Ⅱ）知，：由a＞16，f（x）在（0，
      √a
      ）上是减函数，故f（x）在（0，4）上是减函数，
      要使f（k-cosx）≥f（k      2-cos2x），x∈R，只要k-cosx≤k2-cos2x（x∈R）即cos2x-cosx≤k2-k（x∈R）①
      设 g(x)=cos      2x-cosx=(cosx-
      1
      2
      )2-
      1
      4
      ，则函数g（x）在R上的最大值为2．
      要使①式恒成立，必须k      2-k≥2，即k≥2或k≤-1．
      所以，在区间k∈（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn