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  • 对于函数f（x）=a x2+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数 x0，使f（ x0）=x0成立，则称 x0为f（x）的不动点（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下判断直线L：y=ax+1与圆（x-2）2+（y+2）2=4 a2+4的位置关系．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于函数f（x）=a x2+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数 x0，使f（ x0）=x0成立，则称 x0为f（x）的不动点
      （1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
      （2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
      （3）在（2）的条件下判断直线L：y=ax+1与圆（x-2）      2+（y+2）2=4 a2+4的位置关系．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）=a x2+（b+1）x+b-2（a≠0），
      当a=2，b=-2时，f（x）=2 x      2-x-4，
      设x为其不动点，即2 x      2-x-4=x
      则2 x      2-2x-4=0，解得 x1=-1，x2=2
      即f（x）的不动点为-1，2…..（4分）
      （2）由f（x）=x得a x      2+bx+b-2=0
      关于x的方程有相异实根，则 b      2-4a（b-2）＞0，即 b2-4ab+8a＞0
      又对所有的b∈R，b      2-4ab+8a＞0恒成立
      故有（4a）      2-4?8a＜0，得0＜a＜2…．（10分）
      （3）由圆的方程得圆心M（2，-2），半径r=2
      √a2+1

      M到直线y=ax+1的距离d=
      |2a+3|
      √1+a2

      比较d与r的大小：r-d=2
      √a2+1
      -
      2a+3
      √a2+1
      =
      2a2-2a-1
      √a2+1
      =
      2(a-
      1
      2
      )2-
      3
      2
      √a2+1
      …..（9分）
      当a∈(0，
      1+
      √3
      2
      )时，r＜d，直线与圆相离；
      当a=
      1+
      √3
      2
      时，r=d，直线与圆相切；
      当a∈(
      1+
      √3
      2
      ，2)时，r＞d，直线与圆相交（16分）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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