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已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,而且f(1)=1,若m、n∈[-1,1],m+n≠0时有 f(m)+f(n)m+n<0.(1)证明f(x)在[-1,1]上为减函数;(2)解不等式:f(x+12)>f(32-x2);(3)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,而且f(1)=1,若m、n∈[-1,1],m+n≠0时有
f(m)+f(n)
m+n
<0.
(1)证明f(x)在[-1,1]上为减函数;
(2)解不等式:f(x+
1
2
)>f(
3
2
-x
2
);
(3)若f(x)≤t
2
-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
试题解答
见解析
证明:(1)任取-1≤x
1
<x
2
≤1,则
f(x
1
)-f(x
2
)=f(x
1
)+f(-x
2
)=
f(x
1
)+f(-x
2
)
x
1
-x
2
?(x
1
-x
2
)
∵-1≤x
1
<x
2
≤1,∴x
1
+(-x
2
)≠0,
由已知
f(x
1
)+f(-x
2
)
x
1
-x
2
<0,又x
1
-x
2
<0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x)在[-1,1]上为减函数;
解:(2)∵f(x)在[-1,1]上为减函数,
故有
{
x+
1
2
≥-1
3
2
-x
2
>x+
1
2
3
2
-x
2
≤1
,
解得
√
2
2
≤x<
√
5
-1
2
,或-
3
2
<x≤-
√
2
2
,
∴解集为: [
√
2
2
,
√
5
-1
2
)∪[-
3
2
,-
√
2
2
)
(3)由(1)可知:f(x)在[-1,1]上是减函数,
且f(1)=1,故对x∈[-l,1],恒有f(x)≥1.
所以要使f(x)≤t
2
-2at+1,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,
即要t
2
-2at+1≥1成立,故t
2
-2at≥0成立.
∴
{
t
2
+2t≥0
t
2
-2t≥ 0
,
解得:t≤-2或t≥2或t=0.
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