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  • 已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．（Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．①求映射f下不动点的坐标；②若P1的坐标为（1，2），判断点Pn（xn，yn）（n∈N*）是否???在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．（Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(x+y2+1，x-y2)，P1（2，3）．求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为√5的收敛圆．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
      设P      1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．
      （Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
      ①求映射f下不动点的坐标；
      ②若P      1的坐标为（1，2），判断点Pn（xn，yn）（n∈N*）是否???在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
      （Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(
      x+y
      2
      +1，
      x-y
      2
      )，P1（2，3）．求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为
      √5
      的收敛圆．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）①解：设不动点的坐标为P0（x0，y0），
      由题意，得
      {
      x0=2x0
      y0=1-y0
      ，解得x0=0， y0=
      1
      2
      ，
      所以映射f下不动点为      P0(0，
      1
      2
      )
      ②结论：点P      n（xn，yn）不存在一个半径为3的收敛圆．
      证明：由P      1（1，2），得P2（2，-1），P3（4，2），P4（8，-1），
      所以|P      1P4|=
      √58
      ＞6，
      则点P      1，P4不可能在同 一个半径为3的圆内，
      所以点P      n（xn，yn）（n∈N*） 不存在一个半径为3的收敛圆
      （Ⅱ）证明：由P      1（2，3），得P2(
      7
      2
      ，-
      1
      2
      )．
      由P      n+1=f（Pn），得
      {
      xn+1=
      xn+yn
      2
      +1
      yn+1=
      xn-yn
      2

      所以x      n+1+yn+1=xn+1，xn+1-yn+1=yn+1，
      由P      n+2=f（Pn+1），得
      {
      xn+2=
      xn+1+yn+1
      2
      +1
      yn+2=
      xn+1-yn+1
      2
      ，
      所以x      n+2=
      1
      2
      xn+
      3
      2
      ， yn+2=
      1
      2
      yn+
      1
      2

      即x      n+2-3=
      1
      2
      (xn-3)， yn+2-1=
      1
      2
      (yn-1)，
      由x      1-3≠0，x2-3≠0，得xn-3≠0，
      同理y      n-1≠0，
      所以
      xn+2-3
      xn-3
      =
      1
      2
      ，
      yn+2-1
      yn-1
      =
      1
      2
      ，
      所以数列{x      2n-1-3}，{x2n-3}（n∈N*）都是公比为
      1
      2
      的等比数列，首项分别为 x1-3=-1， x2-3=
      1
      2
      ，
      所以      x2n-1-3=-(
      1
      2
      )n-1， x2n-3=
      1
      2
      ×(
      1
      2
      )n-1，
      同理可得      y2n-1-1=2×(
      1
      2
      )n-1， y2n-1=-
      3
      2
      ×(
      1
      2
      )n-1
      所以对任意n∈N      *，|xn-3|≤1，|yn-1|≤2，
      设A（3，1），则|AP      n|=
      √(xn-3)2+(yn-1)2
      ≤
      √1+4
      ，
      所以|AP      n|≤
      √5
      ，
      故所有的点P      n（n∈N*）都在以A（3，1）为圆心，
      √5
      为半径的圆内或圆上，
      即点P      n（xn，yn）存在一个半径为
      √5
      的收敛圆
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