已知函数f（x）=x2-2ax-（2a+2）（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞x；（Ⅱ）若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x²-2ax-（2a+2）
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞x；
（Ⅱ）若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

见解析

解（Ⅰ）由f（x）＞x得x²-（2a+1）x-（2a+2）＞0，即（x-2a-2）（x+1）＞0，
当2a+2＞-1，即a＞-

时，原不等式的解为x＞2a+2或x＜-1，
当2a+2=-1，即a=-

时，原不等式的解为x∈R且x≠-1，
当2a+2＜-1，即a＜-

时，原不等式的解为x＞-1或x＜2a+2．
综上，当a＞-

时，原不等式的解集为{x|x＞2a+2或x＜-1}；
当a=-

时，解集为{x|x∈R且x≠-1}；
当a＜-

时，解集为{x|x＞-1或x＜2a+2}．
（Ⅱ）由f（x）+3≥0得x²-2a（x+1）+1≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即2a≤(

x²+1

x+1

)_min在（-1，+∞）上恒成立．
令t=x+1（t＞0），则

x²+1

x+1

(t-1)²+1

=t+

-2≥2

√2

-2，
当且仅当t=

√2

等号成立
∴(

x²+1

x+1

)_min?=2

√2

-2，
∴2a≤2

√2

-2，即a≤

√2

-1．
故实数a的取值范围是(-∞，

√2

-1]．

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