已知函数f(x)=a?2x+a2-22x-1（x∈R，x≠0），其中a为常数，且a＜0．（1）若f（x）是奇函数，求常数a的值；（2）当f（x）为奇函数时，设f（x）的反函数为f-1（x），且函数y=g（x）的图象与y=f-1（x+1）的图象关于y=x对称，求y=g（x）的解析式并求其值域；（3）对于（2）中的函数y=g（x），不等式g2（x）+2g（x）+t?g（x）＞-2恒成立，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a?2^x+a²-2

2^x-1

（x∈R，x≠0），其中a为常数，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函数，求常数a的值；
（2）当f（x）为奇函数时，设f（x）的反函数为f^-1（x），且函数y=g（x）的图象与y=f^-1（x+1）的图象关于y=x对称，求y=g（x）的解析式并求其值域；
（3）对于（2）中的函数y=g（x），不等式g²（x）+2g（x）+t?g（x）＞-2恒成立，求实数t的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
则f(-x)=

a?2^-x+a²-2

2^-x-1

(a²-2)2^x+a

1-2^x

a?2^x+a²-2

2^x-1

（2分）
∴a²-2=a，解此方程可得：a=2或a=-1（3分）
又∵a＜0，∴a=-1（4分）
（2）由（1）知：a=-1，此时f(x)=-

2^x+1

2^x-1

，
∴2^x=

y-1

y+1

，∴f^-1(x)=log₂

x-1

x+1

（6分）
∴f^-1(x+1)=log₂

x+2

（x＞0或x＜-2）（7分）
此时

x+2

=2^y可得：x=

2^y+1

1-2^y

，
∴y=g(x)=

2^x+1

1-2^x

（9分）
∴g（x）的值域为（-∞，-2）∪（0，+∞）（10分）
（3）原不等式化为t?g（x）＞-g²（x）-2g（x）-2
当g（x）＞0时，t＞-[g(x)+

g(x)

]-2（11分）
此时-[g(x)+

g(x)

]-2≤-2

√2

-2即t＞-2

√2

-2（12分）
当g（x）＜-2时，t＜-[g(x)+

g(x)

]-2（13分）
∵g(x)+

g(x)

在g（x）∈（-∞，-2）单调递增，
∴-[g(x)+

g(x)

]-2＞3-2=1即t≤1（15分）
综上所述，实数t的取值范围为(-2

√2

-2，1]（16分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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